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MATEMÁTICAS Y REALIDAD  

José María Sorando Muzás

(artículo publicado en Laberintos nº 2 - diciembre 2000

revista cultural del IES Elaios de Zaragoza)

  

            Si preguntamos “¿por qué son necesarias las Matemáticas?” recibiremos en general una vaga respuesta, del tipo “porque desarrollan la capacidad de pensar”. La misma que obtendríamos si preguntásemos por qué es instructivo el juego del ajedrez. En tal caso, ¿por qué no jugar al ajedrez en lugar de aprender Matemáticas?. Decía Miguel de Unamuno (1864-1936) que, efectivamente, el ajedrez desarrolla la capacidad de pensar ... pero sólo para ganar partidas de ajedrez. Se supone que las Matemáticas no son un juego cerrado, sino que nos permiten comprender y actuar sobre la realidad, de modo que los conocimientos matemáticos  tienen universalidad.

             Este paradigma de las Matemáticas como intérprete de la realidad ha tenido a lo largo de la historia argumentos diferentes, incluso contrapuestos. Como veremos, cada enfoque se vio sobrepasado por la irrupción de nuevos aspectos de la realidad, provocando, mediante rupturas epistemológicas, un conocimiento cada vez más profundo.              

             EXPLICAR EL MUNDO CON NÚMEROS

             El mito y la religión siempre han apaciguado nuestros temores ante lo desconocido. A medida que la racionalidad conquistaba parcelas en la comprensión del mundo se creyó desvelar su secreto y se confirió a ese saber una totalidad religiosa. Los pitagóricos (s. VI a.C.) soñaron un universo regido por los números enteros donde la elevación del alma se conseguiría por medio de las Matemáticas.  Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número, pues no es posible que sin número nada pueda ser conocido ni concebido...” (Filolao).

             La evidencia de segmentos incomensurables (diagonal del cuadrado de lado unidad) y de problemas que se intuían irresolubles (cuadratura del círculo, duplicación del cubo y trisección del ángulo) mostraba la insuficiencia de la aritmética simple de los números enteros (equivalente en geometría a las construcciones con regla y compás). Al constatar en el mundo real de las figuras geométricas la presencia de medidas que no pueden obtenerse como cociente de números enteros (hoy números irracionales), se rompía la cosmología pitagórica.

             La maldición esperaba a quien, aceptando estos números subversivos, perturbase la música de las esferas que escuchaba Pitágoras en el silencio de la noche: “Es fama que el primero en dar al dominio público la teoría de los irracionales pereciera en un naufragio, y ello porque lo inexpresable e inimaginable debería siempre haber permanecido oculto. En consecuencia, el culpable, que fortuitamente tocó y reveló este aspecto de las cosas vivientes, fue trasladado a su lugar de origen, donde es flagelado a perpetuidad por las olas” (Escolio del libro X de los Elementos de Euclides, atribuido al filósofo Proclo Diadoco).

            Uno de esos números, el irracional   F = (1 + raíz 5) / 2 , ha sido curiosamente el portador hasta nuestros días de cierto pitagorismo. El canon clásico de belleza adoptado por escultores, pintores y arquitectos, desde Praxiteles (s. IV a.C.), pasando por Leonardo Da Vinci (s. XV) hasta Santiago Calatrava (s. XX), utiliza repetidamente como figura básica para las composiciones el “rectángulo áureo”. En este rectángulo, el cociente del lado mayor entre el lado menor es M, llamado el “número de oro”.

             Ese canon estético sería sólo un convenio, un hecho cultural, sino fuera porque aparece una y otra vez en la Naturaleza: como la razón entre los radios crecientes en las espirales de las caracolas; o entre los números de miembros de las sucesivas generaciones a partir de una pareja de palomas; o entre los segmentos de una flor; o entre las espirales de una piña, etc. En todos esos casos se obtiene el “número de oro”. Hay por lo tanto una extraña coincidencia entre observaciones del mundo natural y reglas de la estética formal. Ello hace pensar que en realidad se trate de dos caras de la misma moneda: la ley que rige la armonía de las cosas, la “divina proporción”, según Luca Pacioli (1445-1517).

             El ideal griego fue recuperado en el Renacimiento y asimilado a la figura judeocristiana del creador-legislador divino. En los albores de la ciencia experimental, Galileo (1564-1642) es pionero en el estudio de la dependencia funcional entre magnitudes variables, al relacionar las distancias y tiempos de caída de un móvil. Formulando matemáticamente las relaciones entre magnitudes físicas, la Ciencia describiría las leyes que rigen el mundo: “ El gran libro del Universo está continuamente abierto ante nuestros ojos. Pero no se puede descifrar si antes no se comprende el lenguaje y se conocen los caracteres en que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático ... sin ello deambulamos vanamente por un oscuro laberinto” (Saggiatore. Galileo Galilei).

             La imagen mecanicista iniciada con Galileo alcanzó su apogeo en el siglo XVII con Newton, Huygens, Boyle, etc. y desarrolló el “método científico”. Este método ha sido “la técnica más segura ideada por el hombre para controlar el flujo del azar y establecer creencias estables” (Nagel y Cohen) y ha tenido como consecuencia las tecnologías, transformadoras de nuestras vidas. Pero no consiguió eliminar en todos los casos la incertidumbre, un elemento ineludible en nuestra experiencia de la realidad.

             AZAR Y CONOCIMIENTO

             Según esa experiencia, la repetición de un fenómeno bajo las mismas condiciones no siempre conduce a los mismos resultados. En tal caso, decimos que se trata de un fenómeno aleatorio, cuyos posibles resultados son más o menos probables. Pero el azar, ¿existe en sí o su admisión simplemente da, en palabras de Poincaré (1854-1912), “la medida de nuestra ignorancia”?.

             El afán del científico que busca la comprensión universal se refleja en estas palabras escritas por Pierre Simon de Laplace (1749-1827): “Supongamos por un momento una inteligencia que pudiera comprender todas las fuerzas que animan la naturaleza y su respectiva situación, junto con la de los seres que la componen -una inteligencia lo suficientemente vasta para someter estos datos a análisis-; ésta incluiría en la misma fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y los de los átomos más ligeros; nada sería incierto para ella y tanto el futuro como el pasado estarían ante sí” (Prefacio a la “Théorie Analytique des Probabilités”. 3ª edición, 1820). Según este parecer, la probabilidad de un suceso tan sólo sería la asignación subjetiva que hace un individuo incapaz de comprender toda la realidad.

             La otra interpretación de la probabilidad, objetiva o empirista, asigna a cada suceso un valor numérico que es el límite ideal de los valores observados para su frecuencia relativa cuando el número de observaciones es muy grande. Esto implica la convicción, paradójica en si misma, de que el azar se ciñe a ciertas leyes.

             En 1933, Kolmogorov  enunció una Axiomática que es el punto de partida de la Teoría de la Probabilidad como una rama más de la Matemática formal. Si ésta había sido lenguaje para el modelo determinista, también lo era para su aparente contrario, el modelo probabilista. Pero, ¿cuál de estos dos modelos es el “verdadero”?.

             La Física Newtoniana estaba estructurada de modo tal que a partir del estado de un sistema en un instante dado puede preverse el futuro movimiento del sistema. Pero la descripción del movimiento de las partículas subatómicas resultó ser imposible dentro de la Mecánica Clásica. Para conseguirla, en el siglo XX la Mecánica Cuántica permitió la irrupción de la probabilidad en las Ciencias Físicas.

             Se suponía que la imprecisión en las mediciones se debía a la calidad de los métodos e instrumentos usados y que, al mejorar ésta, disminuiría aquélla. El físico alemán Werner Heisemberg (1901-1976) enunció el Principio de Incertidumbre, al comprobar que “es imposible medir con precisión el momento (velocidad) de una partícula al mismo tiempo que se hace una medida igualmente precisa de su posición”; de modo que, “cuanto más exactamente se determina la velocidad de una partícula, tanto menos exactamente puede determinarse su posición, y viceversa. No pueden determinarse ambas simultáneamente con la misma precisión”, debido a la influencia que el instrumento de observación ejerce sobre la partícula. Entonces, “podemos distribuir como queramos la incertidumbre, pero nunca eliminarla” (La imagen de la Naturaleza en la Física actual. W. Heisemberg, 1955).

             Heisemberg llegó a acotar inferiormente el producto de los errores posibles con la llamada “constante de Planck” (el menor paquete de energía que se encuentra en la Naturaleza). Por mucha precisión que logremos, nuestro error tendrá al menos ese valor. La consecuencia inmediata es que estos movimientos carecen de una trayectoria previsible; no pueden ser descritos de forma precisa y continua en el espacio y el tiempo, conforme al ideal clásico. No parecen sujetos a leyes deterministas y hay que recurrir a su control  estadístico mediante series de observaciones puntuales. Entonces, cualquier previsión de estados futuros deberá hacerse en términos de probabilidad. Así, las posiciones de la partícula se representan por una variable aleatoria y suelen utilizarse expresiones como: “la probabilidad de que el electrón se encuentre en el intervalo [x , x+dx] es p(x)·dx”.

             Albert Einstein (1879-1955) se negaba a reconocer que ésta fuera una explicación definitiva y completa, advirtiendo que, si las partículas constituyentes de la materia están definidas por funciones de probabilidad, hay una pérdida del concepto de esencia individual. Sus esfuerzos iban en sentido contrario, con la Teoría del Campo Unificado. En carta del 7 de septiembre de 1944 escibe a Max Born (1882-1970): “Tú crees en el Dios que juega a los dados y yo creo en la ley y en la ordenación total de un mundo que es objetivamente y que yo trato de captar de una forma locamente especulativa”.

             Pero la descripción probabilista ha resultado ser útil para aproximarnos al control de la realidad. “Hemos aprendido ya a vivir contando con el azar; hemos descubierto algunas de sus leyes y hemos llegado, consiguientemente, a darnos cuenta de que el azar no es el caos” (La Investigación Científica. Mario Bunge, 1980).  

             LA PLURAL REALIDAD GEOMÉTRICA

             Si las leyes naturales han sido expresadas en un lenguaje matemático, con ecuaciones o con probabilidades, el propio espacio físico, escenario de esas leyes, fue descrito geométricamente. Euclides (s. IV a.C.) en los Elementos enuncia unos axiomas que resumen “lo evidente” de nuestra percepción espacial. A partir de esos axiomas, que nadie podía rebatir, se construyó la Geometría hasta el siglo XIX.  

             A lo largo de esos siglos se intentó reducir el conjunto de axiomas euclídeos, pues se suponía que el Axioma V (“desde un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela a la misma”) podía ser demostrado a partir de los demás axiomas y, en tal caso, ser suprimido del conjunto inicial.

             El problema alcanzó su auténtica dimensión mediante su inversión. En lugar de intentar la demostración directa, lo que suponía la admisión del paralelismo único, se negó éste de dos formas: suponiendo que “no hay paralelas”, en la Geometría Elíptica; o que “hay infinitas paralelas”, en la Geometría Hiperbólica. Por contraposición, la Geometría Euclídea se califica de Parabólica.

             De esta forma se alcanzaron simultáneamente otras Geometrías No Euclídeas (Gauss, Lobachetvski, Bolyai y Riemann) que son correctas desde el punto de vista lógico y, como pudo saberse mucho después, también son físicamente viables, según que se apliquen al ámbito microscópico o macroscópico. Einstein ideó un modelo de expansión del Universo que corresponde a un espacio-tiempo con Geometría Hiperbólica, cuya curvatura produce la fuerza de la gravedad. Este tipo de geometría fue representado por el artista holandés M.C.Escher (1888-1972) en el grabado “Límite circular III”.

             Si las tres geometrías son lógicamente correctas y cada una expresa parte de la realidad, entonces la verdad en Matemáticas ya no se establece por su total ajuste con la realidad física. La verdad matemática residiría exclusivamente en la corrección lógica.

             VERDAD SIN REALIDAD

             Al romper sus ataduras con la realidad, las Matemáticas se convierten en el s. XIX en una ciencia puramente formal. Cada teoría es un perfecto edificio lógico construido a partir de los axiomas elegidos y por la estricta aplicación del método hipotético-deductivo, donde llega a acumularse una ingente cantidad de resultados cuyo alcance y significado llegan a perderse. A este respecto, Poincaré llegó a decir: “Para demostrar un teorema no es necesario, ni siquiera conveniente saber de qué estamos hablando”.

             El siguiente pasaje de “Alicia en el País de las Maravillas” (Lewis Carroll, 1865) ha sido frecuentemente citado para ilustrar la intencionalidad que subyace a la elección de una axiomática y la eficiencia del razonamiento lógico-forma aplicado a partir de ella.

            - “¿Me podrías indicar, por favor, hacia dónde tengo que ir desde aquí?”.

- “Eso depende de a dónde quieras llegar”, contestó el Gato.

- “A mí no me importa demasiado a dónde...”, empezó a explicar Alicia.

            - “En ese caso da igual hacia dónde vayas”, interrumpió el Gato.

- “... siempre que llegue a alguna parte”, terminó Alicia a modo de explicación.

- “¡Oh! Siempre llegarás a alguna parte”, dijo el Gato, “si caminas lo bastante”.

             Como dijera el Gato, la Matemática había caminado lo bastante para alcanzar un gran desarrollo. En el Congreso Internacional de París (1900), David Hilbert (1862-1943) proclamó ante una satisfecha comunidad de investigadores: “Toda proposición verdadera puede ser probada”. No tardarían en sobrevenir las crisis.

             Primero fue Kolmogorov quien, prescindiendo del Principio de No Contradicción (o del Tercio Excluso: “una proposición y su contraria no pueden ser verdaderas a la vez”), llegó a construir una Lógica No Aristotélica, de modo semejante a la existencia de Geometrías No Euclídeas. Entonces, si la Lógica ya no es una, tampoco lo es la verdad lógica.

             Pero la crisis más profunda, aún no cerrada, se abrió en 1931 con el Teorema de Gödel. Giuseppe Peano (1858-1932) había enunciado los Axiomas de los Números Naturales, fundamentando así la intuición matemática más común. Kurt Gödel (1906-1978) demostró que aceptando esos axiomas, casi obvios, se pueden formular infinitas proposiciones indecidibles; es decir, pueden construirse unas Matemáticas igualmente correctas si se aceptan esas proposiciones como verdaderas o si se aceptan como falsas. Tras Gödel queda planteada la necesidad de definir nuevamente el sentido de la Matemática, su relación con la verdad y la realidad.

             ¿POR QUÉ MATEMÁTICAS?

             Este complejo trayecto milenario nos devuelve a la pregunta inicial: “¿por qué aprender Matemáticas?”. El psicólogo del aprendizaje Jean Piaget ofrece una respuesta a partir de las estructuras abstractas que constituyen el objeto de estudio de la Matemática actual.

            Según el grupo de matemáticos Bourbaki, tres son las estructuras matemáticas fundamentales, irreducibles entre sí, a partir de las cuales se construyen todas las teorías. Éstas son: las estructuras algebraicas (grupo), las de orden (retículo) y las topológicas (espacio topológico).

             La Psicología Genética ha descubierto que las estructuras mentales del niño se organizan espontáneamente en esas mismas tres categorías: operación, orden y espacialidad. Por ello, argumenta Piaget, pensar en Matemáticas es hacerlo sobre las estructuras del propio pensamiento. De ahí la “naturalidad” de las Matemáticas, interiorización de la experiencia de conocimiento humana, y de ahí que se produzca la transferencia de los aprendizajes en el campo matemático al conocimiento en general.

 

Octubre 2000 - Año Mundial de las Matemáticas

José María Sorando Muzás

I.E.S. "Elaios"

Departamento de Matemáticas

  

 

  

Detalle de Belvedere, M.C. Escher, 1958

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Espiral áurea del Nautilus

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Límite circular III. M.C. Escher 1959

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

En el arte hispano-musulmán, la estructura

de grupo rige los movimientos en el plano

de la figura generadora de un mosaico.

 

José María Sorando Muzás

jmsorando@ono.com