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Resolución

de problemas

 

   

Particularización

Consiste en pasar de la consideración del conjunto de objetos o condiciones dados en el problema a la consideración de un conjunto más pequeño, o incluso de un sólo objeto, contenido en el conjunto dado. Particularizar significa concentrar la atención en algunos ejemplos para entender mejor el significado de la pregunta; simplificar el problema haciéndolo más concreto o específico, hasta que sea posible hacer algún progreso; experimentar o explorar.

Ejemplo 1: "Inscribir un cuadrado en un triángulo dado tal que dos vértices del cuadrado deben hallarse sobre la base del triángulo y los otros dos vértices del cuadrado sobre cada uno de los otros dos lados del triángulo respectivamente".

Comenzamos construyendo cuadrados tales que dos vértices se hallen sobre la base del triángulo y un vértice sobre el lado de la izquierda. Es una particularización a casos más sencillos que el que buscamos, pues el cuarto vértice aún no está en el lado de la derecha, pero cada vez se encuentra más cerca.

 

 

Observamos que los "cuartos vértices" de esa sucesión de cuadrados están alineados. Trazamos la recta que los une hasta que corte al lado de la derecha..

 

 

 

 

Pronto se intuye  que el punto de corte de esa recta con ese lado es el que nos permite trazar el cuadrado requerido. Lo comprobamos y ¡así es!

Ejemplo 2: "Todos los números capicúas de cuatro cifras son múltiplos de 11. ¿Es cierto?."

Comprobamos algunos casos:

1.221 : 11 = 111            3.003 : 11 = 273            6.996 :11 = 636 ...

Elegir ejemplos al azar es bueno para hacerse una idea del significado del problema, pero cuando lo que se busca son leyes generales, lo más seguro es particularizar de una manera sistemática (análisis de casos):           

1.001 : 11 = 91       1.111 : 11 = 101      1.221 : 11 = 111      1.331 : 11 = 121...

Observamos que, mientras los números capicúas crecen de 110 en 110, los cocientes lo hacen de 10 en 10. esto nos puede llevar a la conjetura siguiente:

La diferencia entre dos capicúas consecutivos siempre es 110

Según esto, todos ellos terminarían en 1. No es cierto.

Hemos saltado de cuatro ejemplos a una ley general. Hay que ver más casos:

Capicúas          1881            1991             2002                 2112                 2222     Diferencias                  110              11                    110                  110

Cuando cambia la cifra de miles, la diferencia es 11

Ya tenemos las pistas para intentar razonamientos válidos:

-   Si dos capicúas sucesivos tienen la misma cifra en los miles, por ser capicúas también la tendrán en las unidades. Por lo tanto, sólo difieren en la segunda y la tercera cifra, que serán una unidad mayores en el uno que en el otro. La diferencia entre los dos números es 110.

-   Si dos capicúas sucesivos difieren en una unidad en la cifra de los miles, se obtienen sumando al menor 1.001 (para aumentarle en una unidad las cifras de los miles y de las unidades) y restándole 990 (para reducir las cifras segunda y tercera de nueves a ceros). Ahora bien, 1.001 - 990 = 11

En ambos casos las diferencias son divisibles por 11. Como el capicúa de cuatro cifras más pequeño, el 1.001, también es divisible por 11, lo son todos ellos.

La anterior demostración no es la más elegante, pero es accesible a cualquiera que no esté familiarizado con la expresiones de tipo algebraico. Si se está, basta desarrollar la expresión de esos números:

  1.000 A + 100 B + 10 B + A =... = 11 (91 A + 10 B)

 (Polya, página 20)

Un caso de la particularización es el Contraejemplo. Una sola excepción basta para refutar irrevocablemente lo que pretendía ser una regla o una afirmación de carácter general.

Ejemplo 3: "El volumen del tronco de cono es    V = (R  + r ) * B * H / 3.  Demostrar o refutar esta afirmación (H es la altura, r y R son los radios de las bases menor y mayor)".

Podemos particularizar a los casos límites:

Cuando r = 0,  V = R  * B * H / 3, es el volumen de un cono.

Cuando r = RV = 2* R  * B * H / 3, no es el volumen de un cilindro.

En este último caso la proposición no se verifica, es un contraejemplo. El teorema propuesto es pues falso.

La Particularización a casos extremos suele ser especialmente útil para obtener ideas en la resolución de problemas.

* Bibliografía:

- POLYA, George. Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas, 1992. (How solve it. Primera edición de 1945).

 

 

 

(C) José María Sorando Muzás

jmsorando@ono.com