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Resolución

de problemas

 

  IMPORTANCIA HISTÓRICA

La Historia de las Matemáticas está vinculada a la resolución de ciertos problemas. Puede hacerse esta afirmación desde cuatro puntos de vista:

 - Algunos problemas están en el origen del desarrollo de las Matemáticas.

 - La resolución de ciertos problemas ha motivado la aparición de nuevas ramas de las Matemáticas.

 - Otros problemas han provocado rupturas epistemológicas.

 - Hay problemas que han abierto crisis en los fundamentos de las Matemáticas.

 1º PUNTO DE VISTA: PROBLEMAS EN EL ORIGEN DEL DESARROLLO DE LAS MATEMÁTICAS.

Son lugares comunes citar diversos problemas como motivadores del desarrollo matemático en varias épocas de la antigüedad. Así, por ejemplo:

 - La medida de terrenos por los agrimensores tras las crecidas del Nilo en el Antiguo Egipto, para el manejo práctico de propiedades de los triángulos.

 

 - La matemática griega debió gran parte de su crecimiento a ciertos problemas concretos que sirvieron como centros de atracción y estímulo para los investigadores, polarizando muchos de los conocimientos matemáticos de los griegos. Así cabe interpretar el Teorema de Pitágoras y la construcción de los poliedros regulares, pero muy especialmente los Tres Problemas Clásicos:

.La duplicación del cubo: construir un cubo cuyo volumen sea doble que el de un cubo de lado dado, utilizando únicamente regla y compás.

.La trisección del ángulo: dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales, utilizando únicamente regla y compás.

.La cuadratura del círculo: dado un círculo, encontrar el lado de un cuadrado cuya área sea la misma que la del círculo inicial, utilizando únicamente regla y compás.

Se advirtió que estos tres problemas no encajaban dentro de la geometría de polígonos y poliedros, de segmentos y círculos del momento, que iba más allá de las construcciones basadas en las intersecciones de rectas y circunferencias, o como se les dijo, construcciones con regla y compás. La regla se entiende como instrumento para trazar rectas, pero no para medir distancias. También se advirtió que los métodos, distintos al uso de la regla y del compás, que resolvían alguno de los problemas servían para resolver otro de ellos, siendo así problemas relacionados. La luz definitiva sobre estos problemas se produce en el siglo pasado, con la Teoría de Galois, como veremos más adelante.

- Los problemas de repartos de herencias según la ley coránica para el Álgebra en la cultura árabe. Etc.

2º PUNTO DE VISTA: PROBLEMAS MOTIVADORES DE LA APARICIÓN DE NUEVAS RAMAS DE LAS MATEMÁTICAS.

Más recientemente, conocemos, de forma documentada, cómo a partir del estudio de problemas concretos ciertos matemáticos famosos llegaron a desarrollar nuevas ramas de las Matemáticas.

* El conocido problema del recorrido por los Puentes de Königsberg fue resuelto por Euler en 1735. Su método consistía en reemplazar las áreas de tierra por puntos y los puentes por líneas que los conectaran. Los puntos se llaman vértices; un vértice se llama impar o par según lo sea el número de líneas que conducen a él. Toda la configuración es un grafo. Euler descubrió que puede recorrerse el grafo con un trazo continuo si contiene solamente vértices pares y un número par de vértices impares. Había descubierto de paso un importante principio científico escondido en lo que sólo parecía un acertijo: "Hay propiedades geométricas que son invariantes bajo transformaciones de distorsión". Esto abría la puerta a una nueva geometría no métrica que estudia propiedades que quedan inalteradas cuando estiramos, retorcemos o cambiamos de cualquier otra manera el tamaño y forma de un objeto, la Topología.

* El problema de estimación del volumen de los toneles (problema del aforo), fue para Kepler estímulo inicial para el desarrollo de los métodos infinitesimales y en especial en la elaboración del Cálculo Integral. Recuperó los excelentes resultados alcanzados por Arquímedes para, a partir de esferas, cilindros, conos y troncos de cono, construir de modo aproximado cuerpos complicados, por ejemplo el tonel a partir del cilindro y de dos troncos de cono. Kepler formula teoremas sobre el centro de gravedad y efectúa sustituciones integrales en forma estereométrica. Subsiste la regla del tonel de Kepler en el actual Calculo Integral.

* Entre los continuadores de la obra matemática de Kepler y de Galileo, la atención se centraba en dos problemas principales: el Problema de las Tangentes (la determinación de las tangentes a una curva dada, problema fundamental del Cálculo Diferencial) y el Problema de las Cuadraturas (determinar el área encerrada por una curva dada, problema fundamental del Cálculo integral). Newton y Leibniz supieron ver la relación entre ambos problemas y desarrollaron el Cálculo Infinitesimal.

  * El Problema Regio de Fermat: "Es imposible resolver la ecuación  xn  + yn   = zn  , para n>2". Este resultado es enunciado por Fermat en el margen de un libro y no ha sido resuelto hasta 1995 por Andrew Wiles. Hasta entonces, los intentos para resolverlo han abierto importantes caminos para el Álgebra. Por ejemplo: El estudio de los números algebraicos y de los ideales por Kummer.

 

            Pierre de Fermat                                         Andrew Wiles

* Es común citar como origen del estudio matemático de la Probabilidad a los intentos de Pascal y Fermat por resolver los dos problemas planteados por Antoine Gombaud, el Caballero De Méré. Hans Freudenthal, en "La Matemática como una tarea educativa" dice: "El Caballero De Meré era un hombre educado, y sin duda aprendió Matemáticas; sin embargo, cuando se encontró ante una situación nueva no fue capaz de resolverla. Tan sólo aplicó las Matemáticas que conocía, la Regla de Tres. De Meré no es tanto una figura histórica como un paradigma, un antepasado de prolífica descendencia hoy en día, de todos los De Meré actuales que han aprendido Matemáticas pero no saben razonar ante la novedad sin precedentes de un problema".

* Ya en nuestro siglo, seguimos encontrando la influencia de ciertos problemas sobre el progreso de ramas de la Matemática. En una famosa comunicación al Congreso Internacional de Paris en 1900, David Hilbert propuso un desafío de 23 problemas matemáticos fáciles de formular, pero ninguno de ellos fácilmente accesible a los conocimientos de la época. La resolución de estos problemas fue un reto que dinamizó la actividad matemática durante el siglo XX. Uno de estos problemas consistía en demostrar la trascendencia del número 22. Siegel y Gelfond consiguieron demostrarlo, desarrollando los métodos sobre números trascendentes.

3º PUNTO DE VISTA: PROBLEMAS QUE HAN PROVOCADO RUPTURAS EPISTEMOLÓGICAS.         

Al considerar la historia de las Matemáticas, se debe tener en cuenta que el desarrollo de éstas no se produce por mera acumulación de resultados, sino también por rupturas en el modo de concebir y abordar los problemas, rupturas epistemológicas. La imposibilidad de resolver ciertos problemas en el anterior marco de conocimiento provoca la aparición de nuevas teorías. Así se comprende que varios matemáticos, sin conexión entre sí, hayan llegado en un mismo tiempo a parecidas formulaciones.

Según señala Javier De Lorenzo en La Matemática y el problema de su historia, en los últimos siglos han sido tres las rupturas epistemológicas esenciales: La inversión (1827), la abstracción (1875) y  el paso a las estructuras (1930).

* Hacia 1827, hay un cambio de objetivos: en lugar de desarrollar la Matemática algorítmica, preocupa comprender la estructura interna que posibilita ese desarrollo ("Hallar la razón", divisa de Abel) y aparece la inversión como proceso mental. Alcanzados los límites en el hacer matemático, tales límites impiden dar explicación de por qué resultan infructuosos los intentos de resolución frontales de algunos problemas. La inversión consiste entonces en atacar los problemas, partiendo de lo que parece inalcanzable, de su solución (estudiando sus propiedades), para dar razón del por qué no pueden resolverse.

Esta etapa coincide con la profesionalización del matemático como tal (Écôle Polythecnique de Paris), su especialización e independencia creciente con respecto a los problemas de la Física y de las Ciencias Naturales (los principales problemas surgen en el dominio de las propias Matemáticas) y la aparición de las revistas matemáticas

Veamos cómo se producen estas rupturas desde algunos problemas clásicos:

i) Hallar la solución para la ecuación general de 5º grado, a partir de sus coeficientes y mediante operaciones racionales y extracción de raíces: era un problema abierto desde el siglo XVI. En el siglo XIX  Abel en lugar de preguntarse "¿cuál es la resolvente de la ecuación algebraica de 5º grado?", se preguntó "¿qué condiciones han de cumplir las raíces de una ecuación para que ésta tenga solución?". Los resultados de este enfoque trajeron el gran cambio del Álgebra.

El éxito logrado en el Álgebra hizo que la Inversión se aplicase también en los problemas pendientes del Análisis e incluso a sus fundamentos (Cauchy con el proceso de paso al límite -epsilon/delta- reformula la noción de continuidad). Para Cauchy, "se sustituye el cáculo por las ideas, triunfando en la demostración no por el cálculo ciego sino por el pensamiento".

ii) Las Geometrías No-euclídeas. Otro problema clásico consistía en demostrar el V Postulado de los Elementos de Euclides -foto- ("desde un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela a la misma") a partir de los restantes postulados euclídeos. Durante siglos hubo intentos infructuosos. El problema alcanzó su auténtica dimensión mediante su inversión. En lugar de intentar la demostración directa, lo que supone la admisión del paralelismo único, se niega éste de diversas formas (no hay paralelas -geometría elíptica-, o, hay infinitas paralelas -geometría hiperbólica-). Así se alcanzan simultáneamente varias geometrías no euclídeas lógicamente correctas (Gauss, Lobachetvski, Bolyai, Riemann) y, como mucho después pudo comprobarse, también físicamente viables.                                      

Esto abrió una crisis en los fundamentos de la Matemáticas: a partir de aquí las relaciones entre Matemáticas y realidad se plantean desde nuevas perspectivas, así como el propio concepto de espacio matemático, que se hace ahora cuestionable.

*Hacia 1875 se produce la segunda ruptura: la Abstracción. Los problemas que ahora están pendientes de resolución conciernen a la fundamentación teórica de las Matemáticas, cuyos conceptos esenciales (número real, espacio geométrico, curvas) no están bien definidos. Se pasa del estudio de objetos matemáticos a las clases (Teoría de Conjuntos de Cantor). El manejo de entes abstractos lleva a la axiomatización de las Matemáticas y al formalismo. La idea central de las Matemáticas es entonces la creación de correspondencias entre conjuntos y la búsqueda de propiedades que se conservan en ellas.

i) La unificación de las geometrías. Ante la proliferación de varias geometrías (proyectiva, diferencial, no-euclídeas, etc) con resultados dispersos, Félix Klein -foto- enuncia en su famosa ponencia (El Programa de Erlangen) que todas las geometrías tiene algo en común: la noción subyacente de grupo de transformaciones. El espacio deja de ser visto como un receptáculo homogéneo, para convertirse en una multiplicidad de dimensiones donde operan las transformaciones, correspondencias entre sus elementos que no actúan de una manera aislada, sino cumpliendo las leyes formales de grupo. A partir de ahí, estudiar una geometría es estudiar las propiedades que permanecen invariantes por las transformaciones de su grupo. Esto supone una abstracción algebraica de la intuición espacial.                                                                            

ii) Los números reales son definidos por Cantor como clases de equivalencia en el conjunto de las sucesiones de números racionales.

iii) Las curvas algebraicas, definidas como el conjunto de los puntos que anulan un polinomio, son estudiadas en haces, mediante el estudio de su anillo de polinomios.

*Hacia 1939 se produce la tercera ruptura: las Estructuras se convierten en objetos principales del estudio de las Matemáticas. Las fundamentales, cuya combinación da lugar a las restantes, son las algebraicas, las topológicas y las de ordenación, que recogen las ideas de operación, proximidad y continuidad. Aparece el Álgebra de Categorías.

4º PUNTO DE VISTA: PROBLEMAS QUE HAN ABIERTO CRISIS EN LOS FUNDAMENTOS DE LAS MATEMÁTICAS.

Ya se ha comentado la crisis acerca de las relaciones entre Matemáticas y realidad que provocaron las Geometrías No Euclídeas. En el siglo XX se ha producido la crisis en los fundamentos, a partir de la resolución de ciertos problemas y que han afectado a cuestiones tan esenciales como el concepto de verdad en Matemáticas (a propósito del Axioma de Elección, la Hipótesis del Continuo y el Teorema de Gödel) o el concepto de demostración (a propósito del Problema de los Colores y su demostración por ordenador).

Desde todos estos puntos de vista, la resolución de problemas ha sido el motor de la creación matemática.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(C) José María Sorando Muzás

jmsorando@ono.com