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Resolución

de problemas

 

 

GENERALIZACIÓN

 

La generalización consiste en pasar del examen de un objeto o de un conjunto limitado de objetos al examen de un conjunto más extenso que lo incluya.

 

Ejemplo: El Problema de Steiner consiste en encontrar, dados tres puntos A, B y C en el plano, un cuarto punto P tal que la suma de las distancias de los tres puntos a P sea mínima (problema de las carreteras). La solución del problema es la siguiente: si en el triángulo ABC todos los ángulos son menores de 120º, P es el punto desde el cual cada uno de los tres lados subtiende un ángulo de 120º. Sin embargo, si un ángulo de ABC es igual o mayor de 120º, el punto P coincide con su vértice.

 

            El Problema de Steiner ha tenido varias generalizaciones:

 

- A más puntos: Dados n puntos en el plano, A1, A2, ... An, encontrar un punto P de modo que la suma de las distancias PAi sea mínima.

 

- A una red más compleja: Dados n puntos en el plano, A1, A2, ... An, encontrar un sistema conexo de segmentos rectilíneos de longitud mínima, de tal modo que dos puntos cualesquiera queden unidos por una poligonal formada por segmentos del sistema. Esta caso puede ser comprobado por experimentación con placas sumergidas en soluciones jabonosas.   

      

ejemplo 3D con soluciones jabonosas             

 

En ciertas ocasiones el problema general es más fácil de resolver (Paradoja del Inventor).

 

Ejemplo: Si se nos pide "calcular la suma de los n primeros números impares", recordar el problema más general, ya conocido, de "calcular la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética de diferencia d" nos permitirá una rápida solución. En nuestro caso, d = 2.

 

La generalización es el paso inverso a la particularización y ambas suelen utilizarse juntas en esta secuencia:

 

 

Particularización --> Inducción de leyes --> Generalización -->Conjetura --> Demostración

 

 

El proceso de generalización nos lleva a hacer conjeturas sobre una gran cantidad de casos a partir de unos pocos ejemplos.

 

Ejemplo: Expresar la suma de las potencias cúbicas de los n primeros números naturales

Particularizando, inducimos una ley:     

 

            13   + 23   + 33   + 43   =1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102  =(1+2+3+4)2

 

Generalizando, conjeturamos que: 13    + 23   + ... +n3    = (1 + 2 + ... + n)2 

Que demostraremos por inducción matemática.

 

La generalización se ve facilitada cuando la particularización se ha realizado sistemáticamente (Ejemplo: los números capicúas de cuatro cifras, estudiados a propósito de la Particularización).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(C) José María Sorando Muzás

jmsorando@ono.com