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HISTORIA

 

LOS PUENTES DE KöNIGSBERG

En diversas ocasiones a lo largo de la Historia, ha ocurrido que problemas en apariencia intrascendentes han despertado la curiosidad de grandes matemáticos, quienes han entrevisto en ellos cuestiones cuyo interés iba mucho más lejos de las anécdotas que los motivaron. Así ocurrió, por ejemplo, con los problemas de apuestas que suscitaron el comienzo del Cálculo de Probabilidades. Uno de esos casos surgió en el s. XVIII en la ciudad prusiana de Königsberg (hoy Kaliningrado, en Rusia).

La ciudad es atravesada por el Río Pregel formando dos islas. Éstas estaban unidas a las orillas y entre sí por 7 puentes, según se representa en este dibujo:

El problema era:

¿Es posible recorrer los 7 puentes pasando una única vez por cada uno de ellos?

Esta cuestión tenía entretenidos a los paseantes de la ciudad. Uno de sus vecinos, el matemático suizo Leonhard Euler, supo ver en ella algo más que un simple pasatiempo de ciudadanos ociosos. Transformó cada orilla e islas en puntos y los unió con segmentos y arcos que se correspondían con los puentes, obteniendo este dibujo (en adelante, grafo):

El problema se podía reformular así:

¿Es posible dibujar ese grafo sin levantar el lápiz del papel

ni pasar dos sin pasar dos veces por el mismo punto? 

El razonamiento seguido por Euler es de una genial simplicidad.

Pensó que si tal recorrido existe, sólo puede ser de dos tipos...

a) que empiece y termine en una misma vértice

ó

b) que empiece en un vértice y termine en otro

En el caso a), distingue dos tipos de vértices:

- vértice de salida y llegada... el número de caminos que llegan a él debe ser par, pues se empieza y se termina en él; en el caso de que se regrese de paso, habrá que volver a salir y así sucesivamente. Eso obliga a que el número de caminos en ese vértice sea: 2 ó 4 ó 6... Lo llama "vértice par".

- vértices de paso... el número de caminos en ellos también será par, por un razonamiento análogo (se entra y se sale; si se vuelve a entrar, se vuelve a salir; etc.).

En el caso b), distingue otros dos tipos de vértices:

- vértice sólo de salida y vértice sólo de llegada... tendrán un número impar de caminos (razonando análogamente). Los llama "vértices impares".

- vértices de paso... ya se vio que son vértices pares.

Resumiendo:

- Para que sea posible un recorrido del tipo a), todos los vértices han de ser pares.

- Para que sea posible un recorrido del tipo b), debe haber dos vértices impares, siendo el resto pares.

En Königsberg todos los vértices eran impares, de modo que el recorrido buscado era imposible. Posteriormente se construyeron otros puentes que alteraron las condiciones del problema.

Euler advirtió que la solución a este problema pertenecía a un tipo especial y nuevo de Geometría, donde las medidas no intervienen, siendo lo fundamental la posición relativa de sus elementos. Fue el comienzo de la Topología.

 

    

 

     Leonhard Euler (1707 - 1783)

 

José María Sorando Muzás

jmsorando@ono.com