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HISTORIA

 

 

SIGLO XX: CRISIS EN LOS FUNDAMENTOS

En el siglo XX se han producido nuevas crisis en los Fundamentos de las Matemáticas a partir de la resolución de ciertos problemas, que han  afectado a pilares tan esenciales de nuestra ciencia como son los conceptos de verdad y de demostración. 

LA VERDAD EN MATEMÁTICAS

Algunas conjeturas clásicas de la Teoría de Números habían sido refractarias a los esfuerzos de varias generaciones de matemáticos. Al axiomatizar las Matemáticas desde la Teoría de Conjuntos surgieron nuevos problemas. Se trataba de varias proposiciones cuya validez se cuestionaba:

- El Axioma de Elección: "Dada una familia de conjuntos no vacíos, es posible formar un conjunto tomando un elemento de cada uno de ellos", equivalente al Teorema de Zermelo: "Todo conjunto puede ser bien ordenado".

 - La Hipótesis del Continuo de Cantor: "Todo subconjunto infinito de R es numerable (tiene el cardinal de N) o tiene la potencia del continuo (el cardinal de R)". De donde se deduce que 2X = X1, al no haber ninguna cardinalidad intermedia entre las de N y de R.

En 1931, el Teorema de Gödel prueba que:

"En todo sistema axiomático que contenga la axiomática del número natural (Ax.de Peano), pueden formularse infinitas proposiciones que son indecidibles. Es decir, que si el sistema es consistente, sigue siéndolo tanto si le añadimos una de esas proposiciones como si le añadimos su negación".

Gödel probó en 1938 que la Hipótesis del Continuo  es consistente con la Axiomática conjuntista (Zermelo-Frenkel). Cohen probó en 1963 que también lo es su negación. Al igual que el Axioma de Elección, se trata de una proposición indecidible. Para trabajar con ellas se propone incorporarlas a dicho sistema de axiomas.

Entra en su segunda crisis el concepto de verdad en Matemáticas. La primera crisis había surgido a propósito de las Geometrías no euclídeas, dejando de considerarse las Matemáticas como reflejo de la realidad física. De ahí se había pasado a considerar (Hilbert) que lo verdadero es lo demostrable, que la verdad reside en la corrección lógica. Esto condujo a un desarrollo puramente simbólico (Metamatemáticas). Desde esta perspectiva formalista, a partir del Teorema de Gödel, hay infinitas proposiciones que no son verdaderas ni falsas. 

La situación actual de la Teoría de Conjuntos es similar a la de las Geometrías No Euclídeas. Hay varias teorías de conjuntos que aceptan o rechazan  alguna o varias de las conjeturas indecidibles.

EL CONCEPTO DE DEMOSTRACIÓN

Más recientemente, un problema de Topología ha puesto en crisis qué se entiende como demostración matemática.

El Problema de los Colores dice:

"¿Cuántos colores se necesitan para colorear cualquier mapa, de forma que dos regiones que sean adyacentes a lo largo de un lado (no sólo por algún punto) estén coloreadas de diferente color?".

En 1878, a partir de comprobaciones empíricas, Cayley conjeturó que serían suficientes 4 colores y dió un razonamiento que pareció correcto durante algunos años, hasta que se encontró un error. Más tarde el resultado se demostró para mapas que contienen menos de 38 regiones, y también sobre superficies geométricas complicadas, como el toro, pero no sobre el plano o la esfera.

Tras un siglo de intentos, en 1976, Appel Y Haken publican un razonamiento aparentemente definitivo, que reducía la conjetura a una predicción sobre el comportamiento de unos 2000 tipos diferentes de mapas. Se necesitaron 1000 horas de cómputo de un ordenador para comprobar tal predicción. Surgió la objeción: ¿Es esto una demostración matemática?.

Hasta ahora se consideraba que un teorema estaba demostrado si su enunciado se obtiene a partir de los axiomas, mediante la manipulación lógicamente correcta de los símbolos. Algunos teoremas son prácticamente ilegibles, salvo para una minoría, pero otros matemáticos los usan en la confianza de que dicha minoría los ha examinado y los ha estimado correctos. ¿Puede confiarse igualmente en un ordenador?, ¿no contendrá el programa algún error o suposición falsa?.

A las anteriores objeciones responden Appel y Haken que si la demostración fuera realizada durante varios meses por un equipo de matemáticos sería aceptada. Sin embargo, es mucho mayor la probabilidad de que en tan largo proceso estos cometan algún error que la de que lo cometa el ordenador, cuyo programa ha sido igualmente revisado por científicos.

Este planteamiento no es exagerado: El Teorema de Clasificación de Grupos Finitos Simples quedó demostrado en la pasada década por un equipo de más de 100 investigadores. Su demostración consiste en unos 500 artículos, con 15.000 páginas.(Grupo Simple: no tiene otros subgrupos normales que los triviales. Subgrupo normal S: aquel en que los cogrupos gS = Sg, para todo g de G).

 

    

 

 

 

 

George Cantor (1845 - 1918)

Kurt Gödel (1906 - 1978)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

José María Sorando Muzás

jmsorando@ono.com