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HISTORIA

 

 

EL ORIGEN DE LA PROBABILIDAD

(unas apuestas provechosas)


Conocemos bien cuál fue el curioso comienzo del estudio matemático del azar. Se debe al matemático, filósofo y escritor francés Blas Pascal (1623-1662). De la riqueza intelectual y humana de este hombre da idea el hecho de que fue el inventor de la primera máquina sumadora, a la edad de 19 años, para ayudar en el trabajo a su padre, recaudador de impuestos.

En el s. XVII los juegos de azar eran la principal diversión de la alta sociedad francesa. Antoine Gombard, Caballero De Meré, un experto jugador, planteó a Pascal dos problemas sobre apuestas. En 1654, Pascal y Pierre de Fermat (1601-1665) mantuvieron abundante correspondencia sobre ambos problemas. Las soluciones que entre los dos encontraron sentaron las bases del Cálculo de Probabilidades y la Teoría de Juegos, dos ramas de las Matemáticas con grandes aplicaciones.

A continuación se enuncian estos dos famosos problemas. Antes de conocer su solución, conviene que los pienses sin ayuda:

LA APUESTA INTERRUMPIDA.- Los jugadores A y B apuestan a cara o cruz, tirando una moneda. El jugador que primero llega a cinco puntos gana la apuesta. El juego se interrumpe en un momento en que A tiene 4 puntos y B tiene 3 puntos.

¿Cómo deben repartir la cantidad apostada para ser justos?

APUESTAS VENTAJOSAS.- El Caballero De Meré sabía que era ventajoso apostar por el resultado de obtener al menos un seis en una serie de 4 lanzamientos de un dado. Entonces De Meré argumentó que debiera ser igualmente ventajoso apostar por el resultado de obtener al menos un doble seis en una serie de 24 lanzamientos con un par de dados. Para ello había razonado “por regla de tres”: si en 4 lanzamientos se apuesta por un resultado específico entre 6 posibles, es lo mismo que si en 24 lanzamientos se apuesta por un resultado específico entre 36 posibles, ya que 6 : 4 = 36 : 24.  La experiencia no corroboró la suposición de De Meré.

¿Sabrías, como hizo Pascal, justificar por qué la primera apuesta es ventajosa pero la segunda no lo es?

 

Soluciones a los problemas del Caballero De Meré:

 

LA APUESTA INTERRUMPIDA.-                                                       

Con frecuencia se propone: "si A tiene 4 puntos y B tiene 3 puntos, repártase la apuesta en proporción de 4 a 3, a favor de A"; es decir, de forma directamente proporcional a los puntos de cada jugador. Esta solución tiene la lógica de que A, el jugador con más puntos, recibe más dinero pero... ¿la proporción justa es esa de 4 a 3? 

Parece que lo más justo sea tener en cuenta cuántas veces ganaría A y cuántas veces ganaría B, en el caso de que se continuase el juego, repitiéndose muchas veces. Empecemos por expresar las formas posibles en que puede continuar el juego. Y lo haremos mediante un diagrama de árbol:                                                             
                            

                  ---> gana A ---> A: 5 -B: 3 fin (A es el ganador final)

Situación inicial            
  A:4-B:3                                     --> gana A  --->  A: 5 - B: 4 fin
(A es el ganador final)

                  ---> gana B ---> A:4-B:4                   
                                                             --> gana B --> A:4 - B:5 fin
(B es el ganador final)           

                                                     

Es decir: la mitad de las veces ganaría A en el siguiente lanzamiento; la cuarta parte de las veces ganaría A tras dos lanzamientos; y la cuarta parte restante de las veces ganaría B tras dos lanzamientos. En resumen: A ganaría tres de cada cuatro veces y B ganaría una. El reparto más justo es de 3 a 1, a favor de A

 

APUESTAS VENTAJOSAS.- 

Para empezar, el Caballero De Meré sabía que es ventajoso apostar por el resultado de obtener al menos un seis en una serie de 4 lanzamientos de un dado. Lo sabía por experiencia, pues era un jugador profesional. ¿Podemos nosotros saberlo razonadamente?. En efecto:

Al lanzar 4 veces un dado, ¿cuántos resultados diferentes se pueden obtener?: 6 para cada lanzamiento; para una serie de  los 4 lanzamientos. . . 6 x 6 x 6 x 6 = 1296 resultados.

De esos 1296 resultados, ¿cuántos contienen al menos un 6?. Para saberlo, es más fácil calcular cuántos no tienen 6 y restarlos de los 1296. Así que calculamos de cuántas formas pueden salir resultados de 1 a 5, cuatro veces seguidas: 5 x 5 x 5 x 5 = 625

Entonces, el número de series que contienen al menos un 6 es: 1 .296 - 625 = 671

Así que en 4 lanzamientos de un dado hay más resultados que contienen algún 6 (671) que resultados con ningún seis (625). Por eso es ventajoso apostar a que va a salir algún seis. El problema del Caballero De Meré empezaba ahora:

Suponía que también sería ventajoso apostar por el resultado de obtener al menos un doble seis en una serie de 24 lanzamientos con un par de dados. No conocía otras matemáticas que la Regla de Tres y la utilizaba aquí, aunque no hubiera proporcionalidad.

Decía: "apostar por 1 resultado de 6 en 4 lanzamientos será como hacerlo por 1 resultado de 6 x 6 = 36  en  4 x 6 = 24 lanzamientos”.

Para encontrar la solución pensaremos también ahora de cuántas formas posibles se puede desarrollar el juego:

     en un dado... 6 caras

     en un par de dados... 6 x 6 = 36 resultados

     en 24 lanzamientos de un par de dados... 36 x 36 x ... x 36 = 36 24  partidas posibles

Y calculamos también cuántas de esas partidas son favorables  a la apuesta por obtener al menos un doble seis:

     en un par de dados... 36 – 1 = 35 resultados que no son doble seis

     en 24 lanzamientos de un par de dados... 35 x 35 x ... x 35 = 35 24  con ningún doble seis

Como hemos obtenido números muy grandes, es más sencillo calcular qué porcentaje de las partidas es de cada tipo:

proporción de partidas con ningún doble seis:  35 24 : 36 24 = 0,50859... = 50,86 %

    proporción de partidas con al menos un doble seis: 100 % - 50,86 % = 49,14 %

Y como  49,14 % < 50,86 % , lleva la peor parte quien apuesta porque salga al menos un doble seis.

Puede decirse: “¡pero la diferencia es muy pequeña!”. En efecto, pero si se juega muchas veces (que era el caso del Caballero De Meré), esa desventaja se llega a notar.

En la solución a los problemas planteados por De Meré aparecieron ya algunos conceptos que serían importantes en este tipo de situaciones (entre paréntesis, su denominación en la Teoría de la Probabilidad):

                 El número de posibles partidas diferentes (sucesos posibles)

                 El número de esas partidas en las que ganaríamos (sucesos favorables)

                 El porcentaje de partidas ganadas (frecuencia relativa)

Las apuestas de De Meré dieron un beneficio mucho mayor que el esperado por el jugador; abrieron nuevos caminos a la comprensión racional de lo que hasta entonces parecía imposible de comprender... la suerte, el azar.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                  Blaise Pascal

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                Pierre de Fermat

 

 

José María Sorando Muzás

jmsorando@ono.com