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HISTORIA

 

 

LA PRIMERA FUNCIÓN

(Galileo y la Ley de Caída de los cuerpos)

Funciones para entender el mundo

En el s. XVII, a la vez que se conseguía conocer el movimiento de los planetas, se comenzó a investigar cómo suceden los fenómenos naturales en la Tierra, qué leyes siguen. Fue el nacimiento de la experimentación y de la Física moderna. Uno de los primeros y más importantes resultados fue saber que el mismo principio que explica muchas cosas de las que vemos en la Tierra es el que también rige los movimientos de los planetas en el cielo: la Gravitación Universal. Después, y hasta nuestros días, los científicos han experimentado y descubierto leyes con las que explicar todo tipo de situaciones (no sólo físicas, también económicas, sociales, etc.). La aplicación de esas leyes, a través de la tecnología, ha transformado el mundo.

Pero para que esta aventura del conocimiento se produjese, fueron necesarios nuevos conceptos y herramientas matemáticas: primero las funciones (Galileo), después el Cálculo Diferencial (Newton y Leibnitz).

En cualquier situación podemos observar diversos aspectos medibles o magnitudes (temperatura, tiempo, longitud, masa, etc.); algunas se mantienen constantes, pero otras tienen valores variables. Entre las variables, las hay cuyos valores son independientes y otras cuyos valores dependen de aquellas: variables independientes y variables dependientes, también llamadas funciones.

Por ejemplo: en un movimiento con velocidad constante, el tiempo transcurre independiente a cualquier otra magnitud y el espacio recorrido varía dependiendo sólo del tiempo transcurrido. Decimos entonces que, a velocidad constante, el espacio es función del tiempo:  s(t) = v · t

Este forma de pensar hoy nos resulta común, pero alguien tuvo que ser el primero en analizar de esa forma los fenómenos naturales. Esa persona fue Galileo Galilei (Pisa, 1564 – Florencia, 1642).

La Ley de Caída de los Cuerpos

Según se dice, desde la plataforma superior de la torre de Pisa, Galileo dejó caer simultáneamente dos esferas: una pesada de hierro, y otra más ligera, de madera. A pesar de la gran diferencia de peso, ambas esferas caían juntas y llegaban al suelo en el mismo instante. Las velocidades de ambas aumentaban conforme caían, pero siempre se mantenían iguales entre sí; es decir, en su caída se aceleraban de igual manera. Y ocurriría igual con cuerpos más ligeros (una hoja de árbol, por ejemplo), si en esos casos no interviniese la resistencia del aire.

Así, Galileo supuso que la gravedad actúa de igual forma sobre todos los cuerpos y enunció la Ley de Caída de los Cuerpos: “en el vacío, los cuerpos caen con la misma aceleración”. Debía comprobar esta suposición con medidas experimentales que dieran lugar a una ley precisa, a una fórmula.

Pero Galileo no podía medir con suficiente precisión el tiempo y el espacio recorrido por un cuerpo en caída libre, pues la caída se realiza demasiado rápidamente. Por esta razón, Galileo decidió "diluir la fuerza de gravedad" haciendo que una esfera rodase por un plano inclinado y repitió las mediciones en planos que cada vez tenían mayor pendiente, en unas situaciones que así eran cada vez más parecidas a la caída libre en vertical.

Leonardo da Vinci había supuesto que la evidente aceleración de un cuerpo que cae se producía de esta manera: “si el espacio recorrido en un tiempo t dado es 1, en sucesivos intervalos de tiempo iguales a t el cuerpo recorre estos espacios: 1 – 2 – 3 – 4 -...”. Pero Galileo descubrió que la secuencia de espacios recorridos en tiempos iguales era otra: 1 – 3 – 5 – 7 -...

Se dice que, para comprobarlo, se le ocurrió colocar unas campanitas a lo largo de la rampa, que sonarían al paso de la esfera.

     

Después movió la colocación de las campanas hasta conseguir que sonasen a intervalos iguales de tiempo. Entonces, ya sólo tenía que medir las distancias entre cada dos campanas consecutivas.

Pero Galileo no tenía un cronómetro con el que asegurar que los tiempos eran iguales. Resolvió esa dificultad mediante un reloj de agua (clepsidra), en el cual se mide el tiempo por la cantidad de líquido que pasa a través de una pequeña abertura en el fondo de una gran vasija. Las fotos son del dispositivo expuesto en el “Museo di Storia della Scienza” de Florencia que data del s. XIX y utiliza un péndulo para medir los intervalos iguales de tiempo.

Midiendo las distancias recorridas durante esos intervalos iguales de tiempo, comprobó que seguían la sucesión de los números impares: 1 – 3 – 5 – 7 - ... etc. Cuando el plano estaba más inclinado, las correspondientes distancias eran más largas, pero sus relaciones eran siempre las mismas. Así, concluyó Galileo, esta ley debe regir también para el caso límite de caída libre.

Entonces, las distancias totales recorridas desde el comienzo hasta cada período de tiempo eran:

s(1) = 1  

s(2) = 1 + 3 = 4  

s(3) = 1 + 3 + 5 = 9  

s(4) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16   ... etc.

(las sumas de impares consecutivos nos dan los números cuadrados perfectos)

Puedes ver una animación de este experimento en la web del “Museo di Storia della Scienza” de Florencia

Hasta aquí, para más comodidad, se ha supuesto que el espacio recorrido en el primer período de tiempo medía 1. Si fuese otra distancia, C , los espacios recorridos en los sucesivos períodos serían:

C   ,   3·C   ,   5·C   ,   7·C   ... etc.

Y las distancias totales:   

s(1) = C       s(2) = 4·C        s(3) = 9·C       s(4) = 16·C   ... etc. 

En general:   s(t) =  t2 · C

¡Ésta fue la primera función expresada como tal en la Historia de la Ciencia!

Pero era sólo un primer paso para el propósito de Galileo. Para llegar a demostrar la Ley de Caída de los Cuerpos (que la aceleración es la misma para todos ellos) se necesitaba una Matemática desconocida hasta entonces: el Cálculo Diferencial. Ese sería el siguiente capítulo de esta historia y otros serían sus protagonistas.

 

     Galileo Galilei (1564 - 1642)

   Más sobre Galileo:

   Biografía

   Galileo en el cine

   Abjuración

   La Tierra se mueve

 

Célebre cita de Il Sagiatore

 

 

 

 

 

 

 

 

             

 

 

José María Sorando Muzás

jmsorando@ono.com