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HISTORIA

 

 

LA NECESIDAD DEL CÁLCULO DIFERENCIAL

Necesidades matemáticas en el s. XVII.

Galileo quería demostrar que la aceleración es la misma para todos los cuerpos en caída libre. Ya vimos cómo llegó a formular la función que relaciona el espacio recorrido con el tiempo:

 s (t) = C· t 2

Pero para conseguir su propósito, pensemos en todo lo que aún le faltaba:

Había que comenzar por plantearse: ¿qué es la aceleración? ... el ritmo de cambio de la velocidad.

Lo cual nos lleva a otra pregunta: ¿qué es la velocidad? ... el ritmo de cambio de la posición del cuerpo (del espacio recorrido)

*Así que, era necesario estudiar el ritmo de cambio de una función

(años más tarde se le llamaría derivada)

Vamos a hacer una primera aproximación a ese estudio:

Para simplificar, supongamos que el cuerpo recorre un espacio de 1 m. en el primer segundo. Entonces: 

t (segundos)

1

2

3

4

5

s (t) = t 2 (metros)

1

4

9

16

25

Supongamos que queremos estudiar la velocidad en   t0 = 2 . Para ello comparemos la situación en ese momento con la de un momento posterior, cada vez más cercano: 

t (segundos)

5

4

3

) t

incremento de t

desde t 0 = 2 hasta t

5 – 2 = 3 seg.

4 – 2 =  2 seg.

3 – 2 = 1 seg.

) s

incremento de s

desde t 0 = 2 hasta t

25 – 4 = 21 m.

16 – 4 = 12 seg.

9 – 4 = 5 seg.

) s / ) t

velocidad media

desde t 0 = 2 hasta t

21 / 3 = 7 m./seg.

12 / 2 = 6 m./seg.

5 / 1 = 5 m./seg.

Como vemos, la velocidad media no es la misma según la amplitud del intervalo de tiempo considerado. Así que, como nos interesa es la velocidad en t0 = 2, vamos a acercarnos más:

t (segundos)

2,5

2,2

2,1

) t

incremento de t

desde t 0 = 2 hasta t

2,5 – 2 = 0,5 seg.

2,2 – 2 = 0,2 seg.

2,1 – 2 = 0,1 seg.

) s

incremento de s

desde t 0 = 2 hasta t

2,5 2 – 4 = 2,25 m.

2,2 2 – 4 = 0,84 m.

2,1 2 – 4 = 0,41 m.

) s / ) t

velocidad media

desde t 0 = 2 hasta t

2,25 / 0,5 = 4,5 m./seg.

0,84 / 0,2 = 4,2 m./seg.

0,41 / 0,1 = 4,1 m./seg.

Resumiendo resultados: 

t (segundos)

5

4

3

2,5

2,2

2,1

) s / ) t

velocidad media

desde t 0 = 2 hasta t

7 m./seg.

6 m./seg.

5 m./seg.

4,5 m./seg.

4,2 m./seg.

4,1 m./seg.

Vemos que al reducir el intervalo de tiempo considerado, la velocidad media cada vez varía menos: parece acercarse ilimitadamente a un número (¿4 m./seg.?). El último cálculo se refiere a un intervalo de tiempo muy breve: desde t0 = 2 hasta t = 2,1 ... sólo una décima de segundo.

Pero nosotros no queremos saber la velocidad media de décima en décima de segundo, ¡sino al instante! (como en el velocímetro del coche, donde la vemos cambiar continuamente). Y ¿cuánto es  un instante?: diremos que un ) t casi cero. Desde luego, en ese instante, ) s también será casi cero.

Así que también era necesario estudiar:

* El cociente del incremento de una función entre el incremento de su variable independiente (en el ejemplo, ) s / ) t).

Se le llama tasa de variación media

* El cálculo con cantidades muy pequeñas, que son “casi cero”

A esas cantidades se les llama infinitésimos y al cálculo con ellos, paso al límite.

Como ves, en Matemáticas, para resolver un problema surge la necesidad de dominar nuevos conceptos que están “por debajo” de él. Sólo asegurando esos “cimientos” se puede construir luego un “edificio” de razonamientos que llegue hasta la solución del problema inicial.

Galileo no pudo completar esta obra, pero dejó marcado el camino a sus sucesores, Isaac Newton y Wilhelm G. Leibnitz, quienes estudiaron esos conceptos necesarios, desarrollando el concepto de derivada y el Cálculo Diferencial. 

  

    

 

 

Galileo Galilei (1564 - 1642)

 

 

 

Isaac Newton (1642 - 1727)

 

 

Wilhelm G. Leibnitz (1646 - 1716)

 

 

 

 

 

 

 

             

 

 

José María Sorando Muzás

jmsorando@ono.com