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HISTORIA

 

ABEL: EL GRAN CAMBIO DEL ÁLGEBRA

Al comenzar el siglo XIX seguía abierto un problema clásico: Hallar la solución para la cuación general de 5º grado, a partir de sus coeficientes y mediante operaciones racionales y extracción de raíces.

Era un problema de solución pendiente desde que Tartaglia y Cardano dieran el método algebraico para hallar la solución de la ecuación de tercer grado y Bombelli la de cuarto (primera ocasión en que se superaban los logros de la matemática griega). Quien lo resolviera lograría fama imperecedera, y de aquí que casi todo joven matemático intentase la solución. Pero tras tantos años de esfuerzos había cobrado cuerpo la conjetura de que esa resolvente era imposible de hallar.

Niels Henrik Abel (1802 - 1829), a los 19 años pretendía haber encontrado la solución, pero vió un error en su demostración. Esto le llevó a dar un giro radical en el planteamiento del problema. En lugar de preguntarse:

 ¿cuál es la resolvente de la ecuación algebraica de 5º grado?

se preguntó:

 ¿qué condiciones han de cumplir las raíces de una ecuación para que ésta tenga solución?

 logrando un resultado capital:

Para  n >  4   no se pueden cumplir tales condiciones

Así, la ecuación de 5º grado es imposible de resolver algebraicamente. Al invertir el problema, "atacándolo por la espalda", demostró por qué no se puede resolver.

Abel trabajó con las permutaciones de las raíces, cuya estructura de grupo estudiará Evariste Galois (1811 - 1832). El  Álgebra deja de ser el estudio de la resolución de ecuaciones para convertirse en el estudio de las estructuras algebraicas, como los grupos, y de las producidas al combinar dos o más de esas estructuras (campo, cuerpo).

Como una aplicación de la Teoría de Galois, se llega a establecer que las construcciones con regla y compás equivalen a resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Y esto tiene importantes consecuencias en los Tres Problemas Clásicos, vigentes desde la Grecia Clásica:

- La duplicación del cubo y la trisección del ángulo requieren ecuaciones cúbicas, imposibles de plasmar con la regla y el compás.

- Como en la cuadratura del círculo aparece PI, que es trascendente (Lindemann 1882) y por lo tanto no es solución de ninguna ecuación algebraica, este problema tampoco tiene solución.

Curiosamente, la misma teoría que produce una ruptura epistemológica de tal magnitud que cambia el propio objeto del Álgebra, y que por lo tanto abre su futuro, es la que demuestra la imposibilidad de la solución a los Tres Problemas Clásicos con regla y compás. Se trata de un desarrollo de superación histórica, pero integrador de los problemas del pasado.

El Álgebra había cambiado.

    

 

Niels Henrik Abel (1802 - 1829)

 

 

José María Sorando Muzás

jmsorando@ono.com