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Curiosidades

 

 

Algo extraordinario

Antonio Casero, me envía esta foto desde Tenerife:

 

Cinco coches aparcados (cuatro de ellos en zona prohibida). No parece nada especial. Pero si nos fijamos en sus matrículas, descubrimos algo extraordinario (extraordinario: dícese de lo que, siendo posible, es bastante inusual o poco probable). Para poder ver mejor esas matrículas, nos acercamos:

 

 

Las matrículas en todos los casos suman 14. Tal vez alguno piense que soy exagerado por haber calificado este hecho como "extraordinario". Podéis juzgarlo por vosotros mismos tras resolver este problema:

¿Cuál es la probabilidad de que en 5 coches tomados al azar todas sus matrículas sumen 14?

Las posibles combinaciones de 4 cifras: obviamente son 10.000, desde el 0000 al 9999.

Ahora viene lo lioso: ¿cuántos de esos 10.000 números suman 14? Lo primero es identificar todos los grupos de 4 cifras (no tenemos en cuenta de momento el orden de ellas) que suman 14. Es un ejercicio combinatorio un poco pesado, que se puede enfocar así:

- los que llevan algún 9:  9-5-0-0   9-4-1-0   9-3-2-0   9-2-2-1   9-3-1-1.

- los que llevan algún 8:  8-6-0-0   8-5-1-0   8-4-2-0   8-4-1-1   8-3-3-0   8-3-2-1   8-2-2-2.

... y así sucesivamente, cuidando de no repetir grupos que ya hayan salido previamente.

En total, he contado 37 grupos diferentes de 4 cifras que suman 14.

Pero cada uno de esos 37 grupos puede aparecer ordenado de formas varias. 

Por ejemplo, con el grupo 9-5-0-0 se obtienen 12 números diferentes:

9500, 9050, 9005, 5900, 5090, 5009, 0950, 0905, 0590, 0509, 0059, 0095.

Esas posibles ordenaciones de unos elementos prefijados se conocen como permutaciones.

La cosa se complica un poco porque el número de permutaciones de 4 cifras cambia según que haya repeticiones de ellas o no. Por ejemplo: cuando las 4 cifras son diferentes (hay 15 grupos así), salen 24 permutaciones; cuando una cifra se repite 2 veces (hay otros 15 grupos así, como el del anterior ejemplo con 9-5-0-0), salen 12; cuando una cifra se repite 3 veces (hay 3 grupos así), salen 4; y cuando dos cifras se repiten 2 veces cada una (hay 4 grupos así), salen 6. Para saber estos números podemos usar la "fórmula de las permutaciones con repetición".

Teniendo en cuenta todos estos detalles, se obtiene que esos 37 grupos de cifras, reordenándolas, dan lugar a 576 números diferentes.

15 · 24 + 15 · 12 + 3· 4 + 4 · 6 = 576


Entonces, la probabilidad de que la matrícula de un coche sume 14 es: 576 dividido entre 10.000. Es decir: 0,0576. O, dicho de otra forma, un 5,76%. Por lo tanto, no es una probabilidad despreciable.


Pero claro, que ocurra eso con 5 coches... es algo mucho más especial. Su probabilidad es: 0,0576 elevado a la 5ª potencia (la probabilidad de que ocurran a la vez varios sucesos independientes entre si se obtiene multiplicando sus probabilidades). El resultado es ínfimo: 0,000000634.
En conclusión:

la probabilidad de que por azar ocurra lo que se ve en la foto es de 6 entre 10 millones.

¿A que encontrar esos coches juntos es algo extraordinario?

Podrá decirse con razón, que la probabilidad de otras sumas diferentes (por ejemplo: que la primera matrícula sume 14, la segunda sume 35, la tercera sume 8, la cuarta sume 19 y la quinta sume 7), es parecida a la que hemos calculado. Así es, pero que todas las matrículas sumen 14 es un hecho que despierta nuestra curiosidad, mientras que, por ejemplo, la sucesión de matrículas 9500 - 8999 - 2033 - 6661 - 1114 carece de interés aparente. En realidad, nuestra sorpresa no nace de la comparación del suceso "todos suman 14" con otra serie de sumas en particular, sino con el suceso "no todas suman 14", cuya probabilidad es abrumadoramente mayor: 1 - 0,000000634 = 0,999999366. Es decir, 9.999.993,66 entre 10 millones.

 

 

 

José María Sorando Muzás

jmsorando@ono.com