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Matemáticas y Cine

 

 

SERGIO LEONE

 

Sergio Leone (1929-1989), director de cine italiano, en los años 60 filmó películas del Far West en escenarios españoles (Desierto de Tabernas, en Almería, y otros), aunque con actores norteamericanos en los papeles principales (Clint Eastwood, Lee Van Cleef, Elli Walach, Charles Bronson, Henri Fonda, James Coburn y Rod Steiger).

La "osadía" de entrar en un género que parecía patrimonio de los EE.UU. fue menospreciada por Hollywood dando a estas películas el nombre genérico de "spaguetti-western". Esa denominación jocosa era, en su intención, sinónimo de western de baja calidad. Sin embargo, las películas de Leone son ya clásicos del género y han ganado valoración con el paso del tiempo. Otras coproducciones latinas quisieron seguir esa senda, pero quedaron muy lejos de aquel nivel.

Leone empezó su incursión en el Far West con la "Trilogía del dólar" protagonizada por el debutante Clint Eastwood, que lanzaría a la fama al joven actor en Europa antes que en su país. Componen la trilogía: Por un puñado de dólares (Per un pugno di dollari. 1964), La muerte tenía un precio (Per qualche dollaro in più. 1965) y El bueno, el feo y el malo (Il buono, il brutto, il cattivo. 1966). Siguió, ya sin Eastwood, con Hasta que llegó su hora (C'era una volta il West. 1968) y ¡Agáchate maldito! (Giù la testa. 1971). Todas ellas cuentan con la genial música compuesta por Ennio Morricone, amigo de infancia de Sergio Leone, que estaba entonces en el comienzo de su fecunda y exitosa carrera.

Son los tres primeros títulos los que han quedado con mayor fuerza en el recuerdo de los espectadores, debido en gran medida a la presencia carismática de Clint Eastwood, pistolero frío y calculador, siempre con su poncho, lacónico e impávido ante las situaciones límite.

Aunque no sean éstas unas películas en las que uno espere encontrar matemáticas, hay varias escenas con elementos matemáticos que, como todo en este género, contribuyen a realzar la tensión de las situaciones y la dureza de aquellos individuos, a quienes sólo les preocupa el botín en juego, sin concesión a los sentimientos. Aunque a la vez, como veremos, no estén exentas de humor.

En la escena final de La muerte tenía un precio, tras el tiroteo en que ha sucumbido toda la banda perseguida, se separan el Coronel Mortimer  (Lee Van Cleef) y "El Manco" (Clint Eastwood), quien se queda con los cuerpos. Los va apilando en su carreta par cobrar las recompensas. Y empieza a hacer su particular recuento de caja. Va sumando, pero no le salen las cuentas. Lo solucionará a su manera...

  

Para muchos El bueno, el feo y el malo es el mejor spaguetti-western, del cual se recuerda una y otra vez la magnífica escena del duelo en el cementerio. Los protagonistas son: el Bueno ("Rubio", Clint Eastwood), un cazarecompensas; el Feo ("Tuco", Eli Walach), un ladrón; y el Malo ("Sentencia", Lee Van Cleef), un asesino a sueldo y sargento nordista. La acción se desarrolla sobre el fondo histórico de la Guerra Civil norteamericana, estableciendo una ácida comparación entre el goteo de muertes provocadas por la violenta avaricia de los pistoleros y las masacres con justificación patriótica.

La música, las miradas, las evidencias suplen a las palabras en muchos pasajes. Baste decir que, una vez comenzada la película, no hay diálogo hasta los diez minutos y medio.

Los tres buscan un botín de 200.000 dólares en monedas de oro, que yace enterrado en una tumba de un perdido cementerio y, a su pesar, deben colaborar hasta poder localizarla reuniendo la información parcial que cada uno tiene. Llegados al cementerio (filmado en tierras burgalesas), el Bueno escribe el nombre de la tumba del botín en una piedra que deposita en el centro de un gran círculo empedrado rodeado de tumbas. Propone entonces un duelo a tres, lo que se ha dado en llamar un "truelo".

Dispuestos a desenfundar, cada uno valora la situación mirando a sus rivales. Son tres minutos de primeros planos, con miradas expresivas. La tensión es dramatizada una vez más por el dominio de la música. Con frecuencia se pone esta escena como ejemplo de la Teoría de Juegos y del Equilibrio de Nash. ¿Cuál es la mejor estrategia a seguir por cada uno de los tres pistoleros?

La expresión "El bueno, el feo y el malo" ha hecho fortuna como paradigma en artículos científicos. Sea por los tres arquetipos en liza, o bien por sus pautas de acción en el truelo, dicha expresión se repite hasta 175 veces como metáfora en publicaciones económicas, matemáticas, biológicas, etc, según citan Bezuglyi y Handelman, quienes también lo usan en el título de un reciente trabajo sobre Medidas en Conjuntos de Cantor1.

Pero para poder hacer un análisis de estrategias con cálculo de probabilidades se deben asumir algunas premisas.

Caso 1: Supongamos que B, F y M son tres expertos tiradores y que por lo tanto ninguno va a fallar el tiro, acertando mortalmente al rival elegido. También, que los tres conseguirán disparar; apenas uno haga ademán de hacerlo, instantáneamente los otros le imitarán. Se puede considerar por lo tanto que habrá tres disparos simultáneos. Por último, supondremos que la elección por cada uno de ellos de uno u otro blanco entre sus dos oponentes es equiprobable.

Desglosando los sucesos y calculando sus probabilidades, el lector concluirá que la probabilidad de que se salve uno cualquiera de los tres es de 1/4; que la probabilidad de que perezcan los tres es también de 1/4; y que, con esas premisas, es imposible que se salven dos. Es un buen ejercicio de aula.

Ese truelo termina tras un único tiro por jugador y la probabilidad de aniquilación de cada uno de ellos es de 3/4, de modo que a ninguno le conviene empezar el "juego", lo cual deviene en una tensa espera. Es una situación de equilibrio, pero de equilibrio inestable, donde cualquier factor no controlado puede desencadenar el fatal desenlace.

Este tipo de situación en Teoría de Juegos es conocida precisamente como "Atasco de Pistoleros",  cuando el enfoque racional lleva al bloqueo de las acciones, dadas la baja probabilidad de éxito para cada jugador y la posibilidad del desastre total. El Equilibrio de Nash en Teoría de Juegos establece que cuando un grupo de jugadores aceptan las reglas y conocen la estrategia de los demás, suelen tender a minimizar sus pérdidas. En este caso, no sale a cuenta a nadie querer ser valiente. La estrategia óptima sería que los tres acordaran abandonar el juego.

Caso 2:

Supongamos que cada jugador dispone de un único disparo. También, que F sólo acierta la tercera parte de las veces que dispara; M las dos terceras partes; y que B acierta siempre (para eso es el Bueno). Para compensar esa desigualdad, empezará por disparar F, luego lo hará M y por último B. Por supuesto, esto presupone un respeto a las reglas difícil de esperar en esos truhanes. Pero, aceptándolo, ¿cuál es la mejor estrategia que debiera seguir F?

Si F dispara a M, puede acertar y acabar con él (con probabilidad 1/3), pero luego será el turno de B, que le matará con seguridad. Por eso le conviene fallar (lo puede conseguir seguro, tirando al aire por ejemplo) y la situación que luego queda es que empieza a tirar M y, si sigue vivo, después tira B. Se deduce que siempre se salvarán dos de ellos, siendo la probabilidad de que se salve F de 5/6; la de que se salve M, también de 5/6; y la de que se salve B, sólo de 1/3.

Si F dispara a B intentando acertar, al desarrollar el correspondiente diagrama en árbol obtenemos que F tiene probabilidad 2/3 de salvarse, M tiene 8/9 y B tiene 2/9. Si dispara a B fallando, otra vez estamos en la situación ya descrita donde empieza M.

Al comparar esos resultados, se llega a conclusiones paradójicas: la mejor estrategia de F es fallar su tiro. Y, sea cual sea la estrategia elegida por F, el mejor tirador, B, es quien tiene menor probabilidad de sobrevivir.

El truelo de la película se parece más al caso 1 ¿Cómo se resuelve? El Bueno abate al Malo, que no llega siquiera a disparar; es decir, no se cumple la primera premisa del caso 1 (en general, y no sólo en el Oeste, va contra la racionalidad asumir la infalibilidad de alguien, salvo que se acepten dogmas). El Feo no consigue disparar porque su pistola no lleva balas, se las quitó el Bueno la víspera. Con esa información oculta, el Bueno tenía una ventaja que había aprovechado, sólo debía concentrarse en abatir al Malo.

Enlace a la escena del truelo: http://www.youtube.com/watch?v=pmdAsL1n6q4

Y una curiosidad: ¿Cuál sería el valor actual del botín en juego?. Sabiendo que en 1862, cuando transcurre la acción (Guerra de Secesión), la onza de oro valía 20,672$, aquellos 200.000$ eran el valor de 9.633 onzas de oro. Cuando escribo este artículo, la onza de oro se compra a 1.620$. Así que el Bueno, el Feo y el Malo hoy andarían a tiros por 15.605.433$.

En Hasta que llegó su hora, Charles Bronson (otro rostro inalterable ante el peligro) toma el relevo de Eastwood como protagonista. según declaraba el propio director: "Todos los personajes del film, con la excepción de Claudia (Cardinale) son conscientes de que no llegarán al final con vida. Es una danza de muerte".

"Armónica" (Charles Bronson) busca a Franck (Henry Fonda). Baja de un tren donde le esperan tres pistoleros en lugar de Franck (escena filmada en la estación de La Calahorra, en Granada). Tras el recuento de caballos y pistoleros, cada parte hace diferentes restas, que dejan a las claras cuáles son sus intenciones... y empieza el tiroteo.

 

"Armónica" encuentra a "Cheyenne" (Jason Robards) y debaten sobre su capacidad numérica:

 

El número seis es importante en el Oeste. También se insiste sobre ello en El Bueno, el Feo y el Malo. El Bueno descubre que le sigue un grupo de pistoleros y, mientras los cuenta, conversa con el jefe de la banda:

- Uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis. Seis, el número perfecto.

- ¿No es tres el número perfecto?

- Hay seis tiros aquí dentro (señala su pistola).

Para los matemáticos, seis es el primer número perfecto por otras razones; no de armas, sino de divisibilidad. El anterior diálogo, ¿es un “guiño matemático” de Sergio Leone o es pura coincidencia?

Volvamos a Hasta que llegó su hora. "Armónica" y "Cheyenne" hacen estimaciones de las cuantiosas ganancias que les pueden reportar la propiedad de los terrenos por donde debe pasar el ferrocarril:

 

¡Millones! Aunque su cultura sea escasa, la ambición de estos tipos no tiene límites y precisa nuevos conceptos numéricos.

Y aún otra resta:

 

Unas matemáticas de tiros, muertos y dólares, pero ¡también en el Far West hay matemáticas!2.

   

1 Bezuglyi, Sergey; y Handelman. David. Measures on Cantor sets: the good, the ugly, the bad. Repositorio arXiv: 1201.1953v1 [math.DS] 10 jan 2012.

2 Ver también estos artículos:  Matemáticas en el Far West y Pequeño Gran Hombre.

  

Escenas para la clase:

80. Tema: Probabilidad

 Nivel: 4º ESO y

1º-2º Bachillerato

enlace

(contraseña: cinemates)

propuesta didáctica

 

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(C) José María Sorando Muzás

jmsorando@ono.com